讲义十一：垂径定理

【基础知识回顾】 一、 圆的定义及性质： 1、 圆的定义：

⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做

⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合

【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的

2、直径是圆中 的弦】

2、弦与弧：

弦：连接圆上任意两点的 叫做弦

弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 3、圆的对称性：

⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是

【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、 垂径定理及推论：

1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用

2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线

3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】

三、圆心角、弧、弦之间的关系：

1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角

2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、 圆周角定理及其推论：

1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是

【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、 圆内接四边形：

定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角

【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】

垂径定理典型例题分析：

例题1、 基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（ ）

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A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理

1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深

度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙O中，弦ABCD，且ABCD，垂足为H，OEAB于E，OFCD于F.

（1）求证：四边形OEHF是正方形. （2）若CH3，DH9，求圆心O到弦AB和CD的距离.

4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是

例题3、度数问题

的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

AEBDOCF121、已知：在⊙O中，弦AB12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径.

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2、已知：⊙O的半径OA1，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

C

E A B O D 例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b.求证：

当堂作业： 一、概念题

1．下列命题中错误的有（）

（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） （A）3OM5 （B）4OM5 （C）3OM5 （D）4OM5 3．如图，如果AB为⊙O直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中错误的 是（ ） A．CEDE

B．

C．BACBAD

D．ACAD

ADBDa2b2.

4．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，ABCD于E，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 二、垂径定理

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1、过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 .

2.在⊙O中，弦AB长为8cm，圆心到弦AB的距离为3cm，则⊙O半径长为 cm 3．半径是5cm的圆中，圆心到8cm长的弦的距离是 cm

4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA10m，桥拱的距度AB16m，则拱高

CD_____m.

5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm，水面宽

AB24，则水管中水深是_______cm.

6．如图，⊙O的直径CDAB，垂足为点E，若CE2,ED8，则AB（ ） A．2 B．4 C．8 D．16

7．过⊙O内一点M的最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm， 则OM的长为（ ）

A．3cm B．2cm C．1 D．3cm

8．已知：如图，⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若AB10,CD6，则BE的长是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知⊙O的弦AB长8cm，弦心距为3cm，则⊙O的直径是（ ）

A．5cm B．10cm C．55cm D．73cm

10.如图，已知⊙O的半径为6cm，两弦AB与CD垂直相交于E，若CE3cm，DE9cm，则AB（ ）

A．6cm B．33cm C．3cm D．63cm 三、度数问题

1、在⊙O中，AB是弦，C是AB的中点，延长OC交⊙O于D．若OCCD，则AOB的度数是（ ）． A．90 B．100 C．120 D．60 四、相交问题

1、圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为6cm和4cm两部分，则弦心距为（ ） A．

331 B．3 C． D． 322五、平行问题

1、 圆的两互相平行的弦长分别18cm和24cm，又两弦之间距离为3cm，则圆的半径长是 cm

2、 在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为8cm、6cm，则这两条弦之间的距离为________ 六、同心圆

1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB10cm,CD6cm，则AC的长为（ ） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm

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